En bref : comment résoudre une suite de nombres ?
- D’abord la règle, ensuite le calcul. N’écrivez le terme suivant que lorsque vous savez expliquer comment chaque terme est obtenu.
- Regardez les écarts entre nombres voisins. Un écart constant signifie qu’on ajoute ou qu’on retire toujours la même quantité.
- Si les écarts changent, essayez la multiplication, la division, puis les écarts entre les écarts.
- Vérifiez la règle sur tous les termes donnés, pas seulement sur les deux premiers.
- On peut trouver un terme lointain sans tous les écrire: il suffit d’ajouter l’écart au premier terme autant de fois qu’il y a de pas.
Qu’est-ce qu’une suite de nombres ?
Une suite de nombres est une liste ordonnée de nombres qui suit une règle. Chaque nombre s’appelle un terme : le premier terme, le deuxième terme, etc. Dans la suite 3 ; 7 ; 11 ; 15, le premier terme est 3 et la règle est « ajouter 4 ».
Les enfants rencontrent des suites simples dès les premières années d’école, quand ils comptent en avançant ou en reculant de 2 en 2, de 5 en 5 ou de 10 en 10. Plus tard, les programmes de mathématiques développent la reconnaissance des régularités, la généralisation et les règles algébriques. Les exercices sur les suites entraînent exactement ces compétences.
Comment trouver la règle d’une suite ? Cinq questions dans l’ordre
Posez ces questions dans l’ordre. Arrêtez-vous quand une règle convient à tous les termes.
- L’écart est-il toujours le même ? Notez de combien chaque terme change : 3 → 7 → 11 → 15, c’est +4 à chaque fois.
- Le rapport est-il toujours le même ? Si les nombres grandissent plus vite, essayez la multiplication : 2 ; 6 ; 18 ; 54, c’est ×3 à chaque fois.
- Les écarts forment-ils eux-mêmes une suite ? Dans 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 11, les écarts sont +1, +2, +3, +4. L’écart suivant est +5.
- Deux opérations alternent-elles ? Dans 5 ; 8 ; 6 ; 9 ; 7 ; 10, la règle alterne entre +3 et −2.
- S’agit-il de nombres connus ? La suite 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 est celle des nombres carrés : 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3, etc.
Écrivez les écarts en petit sous la suite. Souvent, la régularité apparaît sans qu’il faille garder tous les calculs en tête.
Suites de nombres : exemples corrigés
Suite | Ce que l’on remarque | Règle | Termes suivants |
|---|---|---|---|
3 ; 7 ; 11 ; 15 ; … | l’écart est toujours 4 | +4 | 19 ; 23 |
96 ; 48 ; 24 ; 12 ; … | chaque terme est la moitié du précédent | ÷2 | 6 ; 3 |
2 ; 6 ; 18 ; 54 ; … | chaque terme est le triple du précédent | ×3 | 162 ; 486 |
1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 11 ; … | les écarts augmentent de 1 | +1, +2, +3… | 16 ; 22 |
1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; … | nombres carrés | n × n | 36 ; 49 |
5 ; 8 ; 6 ; 9 ; 7 ; 10 ; … | deux opérations qui alternent | +3, −2 | 8 ; 11 |
1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; … | chaque terme est la somme des deux précédents | somme des deux derniers | 13 ; 21 |
On trouve un terme manquant au milieu de la même façon. Dans 4 ; 9 ; □ ; 19 ; 24, l’écart est toujours 5, donc le terme manquant est 14. Dans 50 ; 44 ; □ ; 32 ; 26, on retire 6 à chaque fois, donc le terme manquant est 38.
Comment trouver un terme lointain, comme le 100e ?
Dans une suite à écart constant, inutile d’écrire les 100 termes. Partez du premier terme et ajoutez l’écart une fois par pas. Dans 3 ; 7 ; 11 ; 15, il y a 99 pas entre le 1er et le 100e terme, donc le 100e terme vaut 3 + 99 × 4 = 399.
Vers la 5e et la 4e, les élèves peuvent exprimer la même suite avec une lettre. Le terme de rang n de la suite 3 ; 7 ; 11 ; 15 est 4 × n − 1, où n est le numéro du terme. Vérification : n = 1 donne 3, n = 2 donne 7 et n = 100 donne 399.
Les suites en images fonctionnent aussi très bien. Formez une rangée de carrés avec des allumettes, de sorte que deux carrés voisins partagent un côté. Un carré demande 4 allumettes, deux en demandent 7, trois en demandent 10. Chaque nouveau carré ajoute 3 allumettes : 10 carrés demandent donc 3 × 10 + 1 = 31 allumettes. L’enfant passe ainsi du comptage d’exemples à la généralisation d’une règle, ce qui prépare plus tard l’algèbre.
Exercices à faire seul
Résolvez chaque exercice, puis vérifiez avec les réponses ci-dessous. Écrivez la règle en toutes lettres, en plus des termes suivants.
- 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; … — donnez les deux termes suivants.
- 81 ; 72 ; 63 ; … — donnez les trois termes suivants.
- 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; … — donnez les deux termes suivants.
- 2 ; 4 ; 7 ; 11 ; … — donnez les trois termes suivants.
- 1 ; 10 ; 2 ; 20 ; 3 ; 30 ; … — donnez les deux termes suivants.
- Combien d’allumettes faut-il pour une rangée de 20 carrés, dans l’exemple ci-dessus ?
- Quel est le 20e terme de la suite 5 ; 9 ; 13 ; 17 ; … ?
Réponses : 1) 14 ; 17 (+3). 2) 54 ; 45 ; 36 (−9). 3) 48 ; 96 (×2). 4) 16 ; 22 ; 29 (écarts +2, +3, +4, +5, +6, +7). 5) 4 ; 40 (deux suites entrelacées). 6) 3 × 20 + 1 = 61. 7) 5 + 19 × 4 = 81.
Pour les plus jeunes, commencez par des suites d’images et de couleurs. Des activités comme continuer une suite logique à 5 ans préparent aux suites de nombres sans aucun calcul. Compter de 3 en 3, de 4 en 4 ou de 7 en 7 se retrouve aussi dans les tables de multiplication jusqu’à 100: travailler la multiplication renforce donc aussi le raisonnement sur les suites.
Quelles erreurs éviter ?
- Choisir une règle d’après les deux premiers termes seulement. Après 2 ; 4, le terme suivant peut être 6 avec la règle +2, ou 8 avec la règle ×2. Il faut plus de termes pour trancher.
- Deviner sans vérifier. Le nombre que vous écrivez doit correspondre à une règle que l’on peut énoncer clairement et appliquer à tous les termes.
- Oublier le signe. Dans une suite décroissante, écrivez des écarts négatifs : −9, −9, −9.
- Tout calculer de tête. Écrire les écarts sous la suite évite des erreurs inutiles.
- Croire qu’il n’y a toujours qu’une seule réponse quand peu de termes sont donnés. Après 1 ; 2 ; 4, on peut justifier 8 avec la règle ×2, mais aussi 7 avec les écarts +1, +2, +3. Quand les informations sont limitées, écrivez la règle à côté de votre réponse.
Pour d’autres problèmes de logique, voyez les énigmes mathématiques pour enfants, et pour des idées de suites avec des cubes, les jeux de maths avec des cubes.
Comment un parent peut-il travailler les suites de nombres avec son enfant ?
Quelques minutes au quotidien suffisent. Les dates d’un même jour de la semaine sont espacées de 7 jours, par exemple les 3, 10, 17 et 24 du mois. Les numéros des maisons d’un même côté de la rue augmentent souvent de 2 en 2.
Inverser les rôles marche aussi très bien. Votre enfant invente une suite avec une règle secrète, et c’est vous qui essayez de la trouver. Pour créer une énigme, il faut avoir bien compris la règle.
Sources
- Podstawa programowa kształcenia ogólnego, matematyka, klasy IV–VIII — podstawaprogramowa.pl (objectifs : repérer des régularités, écrire des relations à l’aide d’expressions algébriques ; version en vigueur depuis l’année scolaire 2024-2025).
- Podstawa programowa kształcenia ogólnego, edukacja wczesnoszkolna — podstawaprogramowa.pl (compter en avant et en arrière à partir d’un nombre donné, de 1 en 1, de 2 en 2, de 10 en 10).
- Khan Academy po polsku — Zadania o arytmetyce, 3. klasa (exercices sur les règles, les régularités arithmétiques et le raisonnement sur les suites).
- Education Endowment Foundation — Improving Mathematics in Key Stages 2 and 3 (2017, mis à jour en 2022 ; recommandations pour étudier la structure des régularités et généraliser, plutôt que de s’en tenir au calcul répété).