Sequenze numeriche: come trovare la regola

In breve: come si risolvono gli esercizi sulle sequenze numeriche?

• Prima trova la regola, poi calcola. Scrivi il termine successivo solo quando sai spiegare come si ottiene ogni termine.
• Controlla le differenze tra numeri vicini. Se la differenza è costante, a ogni passo aggiungi o togli sempre la stessa quantità.
• Se le differenze cambiano, controlla la moltiplicazione, la divisione e poi le differenze tra le differenze.
• Verifica la regola su tutti i termini dati, non solo sui primi due.
• Puoi trovare un termine lontano senza scriverli tutti: aggiungi la differenza costante al primo termine tante volte quanti sono i passi.

Che cos'è una sequenza numerica?

Una sequenza numerica è un elenco ordinato di numeri che segue una regola. Ogni numero si chiama termine: primo termine, secondo termine e così via. Nella sequenza 3, 7, 11, 15 il primo termine è 3 e la regola è «aggiungi 4».

I bambini incontrano le prime sequenze già nei primi anni della primaria, quando contano in avanti e all'indietro per salti di 2, 5 o 10: le Indicazioni nazionali lo prevedono entro la fine della classe terza. Alla scuola media si impara a riconoscere regolarità, a generalizzare e a usare formule con le lettere. Gli esercizi sulle sequenze numeriche allenano proprio queste abilità.

Come si trova la regola di una sequenza? Cinque domande in ordine

Fai queste domande nell'ordine indicato. Fermati quando trovi una regola che vale per tutti i termini.

1. La differenza è costante? Scrivi di quanto cambia ogni termine: 3 → 7 → 11 → 15 è sempre +4.
2. Il rapporto è costante? Se i numeri crescono sempre più in fretta, controlla la moltiplicazione: 2, 6, 18, 54 è ogni volta × 3.
3. Le differenze formano a loro volta una sequenza? In 1, 2, 4, 7, 11 le differenze sono +1, +2, +3, +4. La differenza successiva sarà +5.
4. Si alternano due operazioni? In 5, 8, 6, 9, 7, 10 la regola alterna +3 e −2.
5. Sono numeri conosciuti? La sequenza 1, 4, 9, 16, 25 è formata dai numeri quadrati: 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3 e così via.

Scrivi le differenze in piccolo sotto la sequenza. Spesso così la regola si vede subito, senza dover tenere tutti i calcoli a mente.

Sequenze numeriche: esempi svolti

Allo stesso modo trovi un termine mancante in mezzo alla sequenza. In 4, 9, □, 19, 24 la differenza costante è 5, quindi il termine mancante è 14. In 50, 44, □, 32, 26 togli 6 ogni volta, quindi il termine mancante è 38.

Come si trova un termine lontano, per esempio il centesimo?

In una sequenza con differenza costante non serve scrivere tutti i 100 termini. Parti dal primo termine e aggiungi la differenza una volta per ogni passo. In 3, 7, 11, 15, dal primo al centesimo termine ci sono 99 passi, quindi il centesimo termine è 3 + 99 × 4 = 399.

Alla scuola media, intorno agli 11–13 anni, la stessa sequenza si può scrivere con una formula. Il termine di posto n della sequenza 3, 7, 11, 15 è 4 × n − 1, dove n è la posizione del termine. Verifica: con n = 1 si ottiene 3, con n = 2 si ottiene 7 e con n = 100 si ottiene 399.

Funzionano bene anche le sequenze di figure. Con i fiammiferi si costruisce una fila di quadrati in cui i quadrati vicini hanno un lato in comune. Un quadrato richiede 4 fiammiferi, due ne richiedono 7, tre ne richiedono 10. Ogni nuovo quadrato aggiunge 3 fiammiferi, quindi per 10 quadrati servono 3 × 10 + 1 = 31 fiammiferi. Così i bambini passano dal contare gli esempi al generalizzare una regola, un passaggio che più avanti aiuta con l'algebra.

Esercizi da risolvere da soli

Risolvi ogni esercizio, poi controlla le soluzioni qui sotto. Oltre ai termini successivi, scrivi la regola a parole.

1. 2, 5, 8, 11, … — scrivi i due termini successivi.
2. 81, 72, 63, … — scrivi i tre termini successivi.
3. 3, 6, 12, 24, … — scrivi i due termini successivi.
4. 2, 4, 7, 11, … — scrivi i tre termini successivi.
5. 1, 10, 2, 20, 3, 30, … — scrivi i due termini successivi.
6. Quanti fiammiferi servono per una fila di 20 quadrati, come nell'esempio sopra?
7. Qual è il ventesimo termine di 5, 9, 13, 17, …?

Soluzioni: 1) 14, 17 (+3); 2) 54, 45, 36 (−9); 3) 48, 96 (× 2); 4) 16, 22, 29 (differenze +2, +3, +4, +5, +6, +7); 5) 4, 40 (due sequenze intrecciate); 6) 3 × 20 + 1 = 61; 7) 5 + 19 × 4 = 81.

Con i bambini più piccoli, comincia dalle sequenze di disegni e colori. Attività come continua la sequenza per bambini di 5 anni preparano alle sequenze numeriche senza fare calcoli. Contare di 3 in 3, di 4 in 4 o di 7 in 7 ritorna anche nelle tabelline fino a 100, quindi ripassare le tabelline allena anche il ragionamento sulle sequenze.

Quali errori evitare?

• Scegliere la regola guardando solo i primi due termini. Dopo 2, 4 il termine successivo potrebbe essere 6 con la regola +2 oppure 8 con la regola × 2. Per decidere servono più termini.
• Tirare a indovinare senza verificare. Il numero che scrivi deve seguire una regola che si può dire chiaramente e applicare a tutti i termini.
• Perdere il segno. In una sequenza decrescente scrivi le differenze con il segno meno: −9, −9, −9.
• Fare tutti i calcoli a mente. Scrivere le differenze sotto la sequenza riduce gli errori evitabili.
• Pensare che ci sia sempre una sola risposta quando i termini sono pochi. Dopo 1, 2, 4 si possono giustificare sia 8 con la regola × 2 sia 7 con le differenze +1, +2, +3. Quando le informazioni sono poche, scrivi la regola accanto alla risposta.

Per altri esercizi di logica, leggi la guida giochi di logica matematica per bambini, e per idee sulle sequenze con le costruzioni, la guida giochi matematici con le costruzioni.

Come può un genitore esercitarsi sulle sequenze con il bambino?

Bastano pochi minuti nella vita di tutti i giorni. Le date dello stesso giorno della settimana distano 7 giorni, per esempio 3, 10, 17, 24. I numeri civici su un lato della strada di solito crescono di 2 in 2.

Funziona bene anche scambiarsi i ruoli. Il bambino inventa una sequenza con una regola nascosta e tu provi a scoprirla. Per creare un indovinello così bisogna aver capito bene la regola.

Fonti

• Podstawa programowa kształcenia ogólnego, matematyka, klasy IV–VIII — podstawaprogramowa.pl (obiettivi: cogliere le regolarità, esprimere le relazioni con espressioni algebriche; versione in vigore dall'anno scolastico 2024/2025).
• Podstawa programowa kształcenia ogólnego, edukacja wczesnoszkolna — podstawaprogramowa.pl (contare in avanti e all'indietro a partire da un numero dato, di 1 in 1, di 2 in 2 e di 10 in 10).
• Khan Academy po polsku — Zadania o arytmetyce, 3. klasa (esercizi su regole, regolarità aritmetiche e ragionamento sulle sequenze).
• Education Endowment Foundation — Improving Mathematics in Key Stages 2 and 3 (2017, aggiornato nel 2022; indicazioni su come analizzare la struttura delle regolarità e generalizzare invece di affidarsi solo al calcolo ripetuto).