Zahlenfolgen: So findet man die Regel

Kurz gesagt: Wie löst man Aufgaben zu Zahlenfolgen?

• Erst die Regel, dann rechnen. Die nächste Zahl erst hinschreiben, wenn man erklären kann, wie jede Zahl entsteht.
• Unterschiede prüfen zwischen benachbarten Zahlen. Ein gleichbleibender Unterschied bedeutet: Es wird jedes Mal dieselbe Zahl addiert oder subtrahiert.
• Wenn sich die Unterschiede ändern, Mal- und Geteiltrechnungen prüfen und danach die Unterschiede zwischen den Unterschieden.
• Die Regel an allen gegebenen Zahlen prüfen– nicht nur an den ersten beiden.
• Eine weit entfernte Zahl lässt sich finden, ohne alle aufzuschreiben: Man addiert den gleichbleibenden Unterschied so oft zur ersten Zahl, wie es Schritte sind.

Was ist eine Zahlenfolge?

Eine Zahlenfolge ist eine geordnete Reihe von Zahlen, die einer Regel folgt. Jede Zahl heißt Glied: erstes Glied, zweites Glied und so weiter. In der Folge 3, 7, 11, 15 ist das erste Glied 3, und die Regel lautet „plus 4“.

Kinder begegnen einfachen Folgen schon in den ersten Grundschuljahren, wenn sie in Schritten wie 2, 5 oder 10 vorwärts und rückwärts zählen. Später bauen die Lehrpläne das Erkennen, Beschreiben und Verallgemeinern von Mustern bis hin zu Regeln mit Variablen aus – in den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz für die Grundschule ist „Muster und Strukturen“ sogar eine eigene Leitidee. Aufgaben zu Zahlenfolgen trainieren genau diese Fähigkeiten.

Wie findet man die Regel einer Folge? Fünf Fragen der Reihe nach

Stellen Sie diese Fragen in dieser Reihenfolge. Hören Sie auf, sobald eine Regel zu allen Zahlen passt.

1. Ist der Unterschied immer gleich? Notieren Sie, um wie viel sich jede Zahl ändert: 3 → 7 → 11 → 15 ist jedes Mal +4.
2. Ist der Faktor immer gleich? Wachsen die Zahlen immer schneller, prüfen Sie das Malnehmen: 2, 6, 18, 54 ist jedes Mal · 3.
3. Bilden die Unterschiede selbst eine Folge? Bei 1, 2, 4, 7, 11 sind die Unterschiede +1, +2, +3, +4. Der nächste Unterschied ist +5.
4. Wechseln sich zwei Rechenschritte ab? Bei 5, 8, 6, 9, 7, 10 wechselt die Regel zwischen +3 und −2.
5. Sind es bekannte Zahlen? Die Folge 1, 4, 9, 16, 25 besteht aus Quadratzahlen: 1 · 1, 2 · 2, 3 · 3 und so weiter.

Schreiben Sie die Unterschiede klein unter die Folge. So wird das Muster oft sichtbar, ohne dass man jede Rechnung im Kopf behalten muss.

Zahlenfolgen – Beispiele mit Lösungsweg

Eine fehlende Zahl in der Mitte findet man genauso. Bei 4, 9, □, 19, 24 ist der gleichbleibende Unterschied 5, also fehlt die 14. Bei 50, 44, □, 32, 26 wird jedes Mal 6 abgezogen, also fehlt die 38.

Wie findet man eine weit entfernte Zahl, etwa die 100.?

Bei einer Folge mit gleichbleibendem Unterschied muss man nicht alle 100 Zahlen aufschreiben. Man beginnt mit der ersten Zahl und addiert den Unterschied für jeden Schritt einmal. Bei 3, 7, 11, 15 sind es von der ersten bis zur 100. Zahl 99 Schritte, also ist die 100. Zahl 3 + 99 · 4 = 399.

Ab etwa Klasse 6–7 können Schülerinnen und Schüler dieselbe Folge mit einem Term beschreiben. Die n-te Zahl von 3, 7, 11, 15 ist 4 · n − 1, wobei n die Nummer der Zahl in der Folge ist. Probe: Für n = 1 ergibt sich 3, für n = 2 ergibt sich 7, und für n = 100 ergibt sich 399.

Auch Bilderfolgen funktionieren gut. Legen Sie mit Streichhölzern eine Reihe von Quadraten, bei der benachbarte Quadrate sich eine Seite teilen. Ein Quadrat braucht 4 Streichhölzer, zwei brauchen 7, drei brauchen 10. Jedes neue Quadrat kostet 3 weitere Hölzer, also braucht man für 10 Quadrate 3 · 10 + 1 = 31 Streichhölzer. So kommen Kinder vom Abzählen einzelner Beispiele zum Verallgemeinern einer Regel – eine Grundlage für die spätere Algebra.

Aufgaben zum selbstständigen Lösen

Löse jede Aufgabe und vergleiche dann mit den Lösungen unten. Schreibe die Regel nicht nur als nächste Zahlen, sondern auch in Worten auf.

1. 2, 5, 8, 11, … – Nenne die nächsten zwei Zahlen.
2. 81, 72, 63, … – Nenne die nächsten drei Zahlen.
3. 3, 6, 12, 24, … – Nenne die nächsten zwei Zahlen.
4. 2, 4, 7, 11, … – Nenne die nächsten drei Zahlen.
5. 1, 10, 2, 20, 3, 30, … – Nenne die nächsten zwei Zahlen.
6. Wie viele Streichhölzer braucht man für eine Reihe aus 20 Quadraten wie im Beispiel oben?
7. Wie lautet die 20. Zahl der Folge 5, 9, 13, 17, …?

Lösungen: 1) 14, 17 (+3); 2) 54, 45, 36 (−9); 3) 48, 96 (· 2); 4) 16, 22, 29 (Unterschiede +2, +3, +4, +5, +6, +7); 5) 4, 40 (zwei ineinander verschachtelte Folgen); 6) 3 · 20 + 1 = 61; 7) 5 + 19 · 4 = 81.

Beginnen Sie mit jüngeren Kindern bei Mustern aus Bildern und Farben. Übungen wie Muster fortsetzen für 5-Jährige bereiten ganz ohne Rechnen auf Zahlenfolgen vor. Das Zählen in Dreier-, Vierer- oder Siebenerschritten steckt außerdem im Einmaleins bis 100– wer das Einmaleins übt, trainiert also auch das Denken in Folgen.

Welche Fehler sollten Sie vermeiden?

• Die Regel nur aus den ersten beiden Zahlen ableiten. Nach 2, 4 kann 6 folgen (Regel +2) oder 8 (Regel · 2). Um das zu entscheiden, braucht man weitere Zahlen.
• Raten ohne Prüfen. Die eingesetzte Zahl muss zu einer Regel passen, die sich klar benennen und auf jede Zahl anwenden lässt.
• Das Vorzeichen vergessen. Bei einer fallenden Folge die Unterschiede mit Minus notieren: −9, −9, −9.
• Alles im Kopf rechnen. Unterschiede, die unter der Folge notiert sind, verhindern vermeidbare Fehler.
• Annehmen, es gebe immer nur eine Lösung, obwohl nur wenige Zahlen gegeben sind. Nach 1, 2, 4 lassen sich sowohl 8 (· 2) als auch 7 (Unterschiede +1, +2, +3) begründen. Bei knappen Angaben die Regel neben die Antwort schreiben.

Weitere Aufgaben zum logischen Denken finden Sie im Ratgeber Mathe-Rätsel für Kinder, Ideen für Muster mit Bausteinen unter Mathe-Spiele mit Bausteinen.

Wie können Eltern Zahlenfolgen mit ihrem Kind üben?

Ein paar Minuten im Alltag reichen. Die Daten desselben Wochentags liegen 7 Tage auseinander, zum Beispiel 3, 10, 17, 24. Hausnummern auf einer Straßenseite steigen oft in Zweierschritten.

Auch ein Rollentausch funktioniert gut: Ihr Kind denkt sich eine Folge mit versteckter Regel aus, und Sie versuchen, sie herauszufinden. Wer ein solches Rätsel erfindet, muss die Regel wirklich verstanden haben.

Quellen

• Podstawa programowa kształcenia ogólnego, matematyka, klasy IV–VIII — podstawaprogramowa.pl (Ziele: Erkennen von Regelmäßigkeiten, Beschreiben von Zusammenhängen mit algebraischen Ausdrücken; ab dem Schuljahr 2024/2025 geltende Fassung).
• Podstawa programowa kształcenia ogólnego, edukacja wczesnoszkolna — podstawaprogramowa.pl (Vorwärts- und Rückwärtszählen von einer gegebenen Zahl aus in Einer-, Zweier- und Zehnerschritten).
• Khan Academy po polsku — Zadania o arytmetyce, 3. klasa (Übungen zu Regeln, Rechenmustern und dem Nachdenken über Folgen).
• Education Endowment Foundation — Improving Mathematics in Key Stages 2 and 3 (2017, aktualisiert 2022; Empfehlung, die Struktur von Mustern zu untersuchen und zu verallgemeinern, statt sich nur auf wiederholtes Rechnen zu stützen).