Πράξεις με παρενθέσεις για αρχάριους: απλοί κανόνες

Με λίγα λόγια: πώς υπολογίζουμε παραστάσεις με παρενθέσεις;

• Η παρένθεση έχει προτεραιότητα. Υπολογίστε ό,τι υπάρχει μέσα στην παρένθεση πριν από οτιδήποτε έξω από αυτήν.
• Μετά την παρένθεση κάντε πολλαπλασιασμό και διαίρεση πριν από την πρόσθεση και την αφαίρεση.
• Γράψτε κάθε βήμα. Σε νέα γραμμή, βάλτε στη θέση της παρένθεσης το αποτέλεσμά της και αντιγράψτε όλα τα υπόλοιπα χωρίς αλλαγές.
• Η παρένθεση μπορεί να αλλάξει το αποτέλεσμα: (8 + 2) × 3 = 30, ενώ 8 + 2 × 3 = 14.
• Σε ένα πρόβλημα η παρένθεση δείχνει τι πρέπει να υπολογιστεί μαζί πριν κάνετε τα υπόλοιπα.

Τι σημαίνει η παρένθεση σε μια πράξη;

Η παρένθεση σημαίνει: «κάνε πρώτα αυτό το κομμάτι». Χωρίς παρενθέσεις ισχύει η συνηθισμένη προτεραιότητα των πράξεων: πολλαπλασιασμός και διαίρεση πριν από την πρόσθεση και την αφαίρεση. Οι παρενθέσεις σας επιτρέπουν να αλλάξετε αυτή τη σειρά.

Συγκρίνετε δύο παραστάσεις με τους ίδιους αριθμούς:

• (8 + 2) × 3 = 10 × 3 = 30,
• 8 + 2 × 3 = 8 + 6 = 14.

Στις μεγαλύτερες τάξεις του Δημοτικού οι μαθητές μαθαίνουν να εφαρμόζουν την προτεραιότητα των πράξεων στους υπολογισμούς τους. Οι παρενθέσεις είναι ένα σημαντικό πρώτο βήμα για να γίνει αυτή η σειρά ξεκάθαρη.

Πώς υπολογίζουμε παραστάσεις με παρενθέσεις βήμα βήμα;

Ακολουθήστε τα ίδια πέντε βήματα σε κάθε παράδειγμα.

1. Βρείτε την παρένθεση και υπογραμμίστε την με μολύβι.
2. Υπολογίστε ό,τι υπάρχει μέσα. Αν μέσα στην παρένθεση υπάρχουν δύο πράξεις, ακολουθήστε και εκεί την κανονική σειρά, για παράδειγμα πολλαπλασιασμό πριν από την αφαίρεση.
3. Αντιγράψτε όλη την παράσταση σε νέα γραμμή. Βάλτε στη θέση της παρένθεσης το αποτέλεσμά της και αντιγράψτε τα υπόλοιπα χωρίς αλλαγές.
4. Συνεχίστε τον υπολογισμό με την κανονική προτεραιότητα των πράξεων.
5. Ελέγξτε το πρώτο βήμα, γιατί εκεί ξεκινούν πολλά λάθη.

Παράδειγμα: 3 × (12 – 2 × 4). Μέσα στην παρένθεση κάνουμε πρώτα τον πολλαπλασιασμό: 2 × 4 = 8. Μετά την αφαίρεση: 12 – 8 = 4. Μένει 3 × 4 = 12. Στο τετράδιο κάθε νέο βήμα μπορεί να ξεκινά με το σύμβολο του ίσον:

• 3 × (12 – 2 × 4) =
• = 3 × (12 – 8) =
• = 3 × 4 = 12.

Οι υπολογισμοί μέσα στις παρενθέσεις γίνονται πιο εύκολα όταν το παιδί ξέρει καλά την προπαίδεια. Αν ακόμη μετράει πολλά γινόμενα, δείτε τον οδηγό πώς να μάθει το παιδί την προπαίδεια χωρίς αποστήθιση.

Πότε η παρένθεση αλλάζει το αποτέλεσμα και πότε όχι;

Η παρένθεση γύρω από έναν πολλαπλασιασμό ή μια διαίρεση δεν αλλάζει το αποτέλεσμα, αν η πράξη αυτή θα γινόταν έτσι κι αλλιώς πρώτη. Ούτε η παρένθεση σε μια σκέτη πρόσθεση αλλάζει το άθροισμα. Το αποτέλεσμα αλλάζει συνήθως όταν μέσα στην παρένθεση υπάρχει πρόσθεση ή αφαίρεση και έξω από αυτήν υπάρχει πολλαπλασιασμός, διαίρεση ή ένα πλην μπροστά της.

Πώς γράφουμε ένα πρόβλημα ως παράσταση με παρενθέσεις;

Οι παρενθέσεις είναι χρήσιμες όταν ένα κομμάτι πρέπει να υπολογιστεί μαζί πριν από τα υπόλοιπα. Καθώς διαβάζετε, ρωτήστε: τι πρέπει να υπολογίσω πρώτα; Αυτό το κομμάτι μπαίνει μέσα στην παρένθεση.

Πρόβλημα 1. Η Ελένη είχε 50 €. Αγόρασε ένα βιβλίο με 18 € και μπογιές με 12 €. Πόσα χρήματα της έμειναν; Παράσταση: 50 – (18 + 12) = 50 – 30 = 20 €. Μπορείτε να γράψετε και 50 – 18 – 12 = 20 €. Και τα δύο είναι σωστά.

Πρόβλημα 2. Ο Νίκος αγόρασε 4 τετράδια που κοστίζουν 3 € το ένα και 4 στυλό που κοστίζουν 2 € το ένα. Πόσα πλήρωσε; Παράσταση: 4 × (3 + 2) = 4 × 5 = 20 €, γιατί κάθε ζευγάρι τετράδιο-στυλό κοστίζει 5 €. Η ισοδύναμη μορφή 4 × 3 + 4 × 2 = 12 + 8 = 20 € δίνει το ίδιο αποτέλεσμα.

Πρόβλημα 3. Η Σοφία μοίρασε εξίσου 36 αυτοκόλλητα ανάμεσα στην ίδια και τρεις φίλες της. Πόσα αυτοκόλλητα πήρε καθεμία; Παράσταση: 36 : (1 + 3) = 36 : 4 = 9. Χωρίς την παρένθεση θα βγαινε 36 : 1 + 3 = 39, που δεν ταιριάζει με την κατάσταση.

Περισσότερα προβλήματα με πολλαπλασιασμό και διαίρεση θα βρείτε στην ενότητα προβλήματα με πολλαπλασιασμό και διαίρεση για τη Γ΄ Δημοτικού.

Ασκήσεις: υπολόγισε και βάλε παρενθέσεις

Μέρος Α. Υπολόγισε.

1. (9 + 6) : 3
2. 9 + 6 : 3
3. 40 – (12 + 8)
4. 40 – 12 + 8
5. (7 – 2) × 6
6. 7 – 2 × 3
7. 48 : (2 × 4)
8. 100 – (45 – 15)
9. (18 + 12) : (8 – 3)
10. 5 × (20 – 4 × 3)

Μέρος Β. Βάλε παρενθέσεις ώστε κάθε ισότητα να είναι σωστή.

11. 2 + 3 × 4 = 20
12. 12 – 4 – 2 = 10
13. 24 : 4 + 2 = 4
14. 10 – 4 × 3 + 2 = 30

Απαντήσεις: 1) 5· 2) 11· 3) 20· 4) 36· 5) 30· 6) 1· 7) 6· 8) 70· 9) 6· 10) 40· 11) (2 + 3) × 4· 12) 12 – (4 – 2)· 13) 24 : (4 + 2)· 14) (10 – 4) × (3 + 2).

Για ζέσταμα πριν από αυτά τα παραδείγματα χρησιμοποιήστε τη γεννήτρια φύλλων εργασίας μαθηματικών. Μπορείτε να διαλέξετε πολλαπλασιασμό ή διαίρεση ως το 100 και να τυπώσετε ένα φύλλο με τις απαντήσεις. Άλλα θέματα αυτού του σταδίου θα βρείτε στην ενότητα μαθηματικά Δ΄ Δημοτικού.

Ποια λάθη να αποφύγετε;

• Υπολογισμός από τα αριστερά προς τα δεξιά «όπως έρχεται» χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η παρένθεση.
• Αριθμοί που χάνονται στην αντιγραφή της παράστασης. Κάθε νέα γραμμή πρέπει να περιέχει όλα όσα δεν έχουν υπολογιστεί ακόμη.
• Πρόσθεση μετά την παρένθεση πριν από τον πολλαπλασιασμό. Το 2 + (3 + 1) × 5 γίνεται 2 + 4 × 5 = 22 και όχι 6 × 5 = 30.
• Λάθος αλυσίδα με σύμβολα ίσον. Η γραφή 8 + 2 = 10 × 3 = 30 είναι λάθος, γιατί το 8 + 2 δεν είναι ίσο με 30. Το σύμβολο «=» πρέπει να συνδέει ίσες τιμές.
• Πολλά μαζί στο μυαλό. Στην αρχή γράφετε κάθε βήμα σε νέα γραμμή, ακόμη κι όταν φαίνεται αυτονόητο.

Πότε να μιλήσετε με τον δάσκαλο;

Αν, παρότι γράφει κάθε βήμα, το παιδί μπερδεύει για αρκετές εβδομάδες την προτεραιότητα των πράξεων ή χάνεται σε κάθε μεγαλύτερη παράσταση, μιλήστε με τον δάσκαλο. Μπορεί να συμβάλλουν κενά σε προηγούμενες δεξιότητες, όπως στην προπαίδεια. Ο δάσκαλος μπορεί να βοηθήσει να αποφασίσετε τι να επαναλάβετε πρώτα.

Πηγές

• Podstawa programowa kształcenia ogólnego, matematyka, klasy IV–VIII — podstawaprogramowa.pl (απαίτηση: ο μαθητής εφαρμόζει τους κανόνες για την προτεραιότητα των πράξεων· έκδοση σε ισχύ από το σχολικό έτος 2024/2025).
• Khan Academy po polsku — Myślenie algebraiczne, 5. klasa (ασκήσεις: υπολογισμός παραστάσεων με παρενθέσεις και γραφή προτάσεων ως παραστάσεων με παρενθέσεις).
• Education Endowment Foundation — Improving Mathematics in Key Stages 2 and 3 (2017, ενημέρωση 2022· οι μαθητές συχνά αντιμετωπίζουν το σύμβολο του ίσον ως εντολή «υπολόγισε» και όχι ως σύμβολο ίσων τιμών).