Коротко: что нужно знать об объёмных фигурах в 4–6 классах?
- Объёмная фигура (геометрическое тело) — трёхмерная фигура, у которой есть длина, ширина и высота.
- Прямоугольный параллелепипед имеет 6 прямоугольных граней, 12 рёбер и 8 вершин.
- Куб — прямоугольный параллелепипед, у которого все шесть граней — равные квадраты.
- Развёртка — геометрическое тело, «развёрнутое» на плоскости. У куба 11 разных развёрток.
- Сначала учитесь на настоящих моделях: коробка, игральный кубик или бумажная модель, которую вы склеите сами.
Какие объёмные фигуры изучают в школе?
В 4–6 классах, примерно в 10–12 лет, школьники распознают и описывают призмы, пирамиды, цилиндры, конусы и шары, а особенно подробно — прямоугольный параллелепипед и куб (в российской программе по математике — прежде всего в 5 классе). Проще сначала найти эти фигуры дома и только потом переходить к чертежам в учебнике.
Объёмная фигура | Как узнать | Пример из жизни |
|---|---|---|
прямоугольный параллелепипед | 6 прямоугольных граней | коробка из-под обуви, кирпич |
куб | 6 равных квадратных граней | игральный кубик |
треугольная призма | два равных треугольных основания и прямоугольные боковые грани | деталь-клин из конструктора |
пирамида | основание — многоугольник, треугольные грани сходятся в одной вершине | деталь-пирамидка из конструктора |
цилиндр | два круглых основания и одна кривая боковая поверхность | консервная банка, рулон бумажных полотенец |
конус | одно круглое основание и одна вершина | праздничный колпак |
шар | нет ни рёбер, ни вершин | мяч |
У призм и пирамид все грани — плоские многоугольники, поэтому это многогранники. У цилиндра, конуса и шара есть кривые поверхности.
Чем куб отличается от прямоугольного параллелепипеда?
Любой куб — прямоугольный параллелепипед, но не любой прямоугольный параллелепипед — куб. Так же и квадрат — особый вид прямоугольника.
Признак | Прямоугольный параллелепипед | Куб |
|---|---|---|
грани | 6 прямоугольников; противоположные грани равны | 6 равных квадратов |
рёбра | 12, три группы по 4 равных ребра | 12, все равны |
вершины | 8 | 8 |
рёбра, сходящиеся в одной вершине | 3, попарно перпендикулярны | 3, попарно перпендикулярны |
сумма длин всех рёбер | 4 · (a + b + c) | 12 · a |
Почему рёбер три группы по четыре? Поставьте коробку на стол и посчитайте: 4 ребра — это длина, 4 — ширина и 4 — высота. Параллельные рёбра в каждой группе одинаковой длины.
Пример: размеры коробки — 5 см, 3 см и 2 см. Сумма длин всех её рёбер равна 4 · (5 + 3 + 2) = 40 см. У куба с ребром 4 см сумма длин рёбер равна 12 · 4 = 48 см.
Что такое развёртка объёмной фигуры?
Развёртка — плоская выкройка, из которой можно сложить объёмную фигуру. Развёртка прямоугольного параллелепипеда состоит из трёх пар равных прямоугольников, а развёртка куба — из шести равных квадратов.
Не любое расположение шести квадратов складывается в куб. Шесть квадратов в один ряд или прямоугольник 2 на 3 не подойдут. Существует 11 разных развёрток куба. Самый простой пример — крест: четыре квадрата в столбик и ещё по одному квадрату слева и справа от второго.
Прежде чем вырезать развёртку, попробуйте мысленно её сложить. Помогает заранее определить, какие грани окажутся противоположными, когда развёртка закроется.
Как сделать куб из бумаги в клетку?
Заложите примерно 20–30 минут. Понадобятся бумага в клетку, линейка, ножницы и клей.
- Выберите размер. Если сторона клетки 5 мм, как в обычной школьной тетради, квадрат со стороной 3 см — это 6 на 6 клеток.
- Нарисуйте развёртку-крест: четыре одинаковых квадрата в вертикальный ряд и ещё по одному квадрату по бокам от второго.
- Добавьте клапаны для склеивания. Нужно 7 клапанов. У куба 12 рёбер; 5 из них в этой развёртке — линии сгиба, а оставшиеся 7 нужно склеить.
- Превратите его в игральный кубик. Перед склеиванием нарисуйте точки от 1 до 6 так, чтобы на противоположных гранях в сумме было 7: 1 напротив 6, 2 напротив 5 и 3 напротив 4.
- Вырежьте, согните и склейте. Сгибайте по линиям между квадратами и мажьте клеем только клапаны.
- Проверьте модель. Посчитайте грани, рёбра и вершины. Должно получиться 6, 12 и 8.
Развёртку прямоугольного параллелепипеда можно увидеть и так: аккуратно разрежьте небольшую картонную коробку по нескольким рёбрам и разложите её на столе. Измерьте прямоугольники — найдёте три одинаковые пары.
Пусть ребёнок сам начертит, вырежет и склеит модель. Как помогать подсказками, а не делать всё за него, читайте в статье как помогать ребёнку учиться и не делать уроки за него.
Как найти площадь поверхности и объём прямоугольного параллелепипеда?
Площадь поверхности — это сумма площадей всех шести граней, то есть площадь развёртки. Для прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b и c:
- площадь поверхности: S = 2 · (a · b + b · c + a · c),
- объём: V = a · b · c.
У коробки 5 см на 3 см на 2 см площадь поверхности равна 2 · (15 + 6 + 10) = 62 см², а объём — 5 · 3 · 2 = 30 см³. Объём удобно представлять как число кубиков с ребром 1 см, которые поместятся внутри: 15 в каждом слое и 2 слоя, итого 30. У куба с ребром 4 см площадь поверхности равна 6 · 16 = 96 см², а объём — 64 см³.
Для площади поверхности нужна площадь прямоугольника, которую дети проходят раньше. Повторить её можно в разделе математика в 4 классе. Работа с параллелепипедами, площадью поверхности и объёмом продолжается в разделе математика в 6 классе.
Объём связан и с вместимостью: 1 литр — это 1 дм³, объём куба с ребром 10 см, а 1 мл — это 1 см³. Измерять миллилитры и литры на практике можно по статье математика на кухне для детей.
Каких ошибок стоит избегать?
- Путать плоские фигуры с объёмными. Квадрат может быть гранью куба, круг — основанием цилиндра.
- Считать только видимые на рисунке рёбра. Некоторые рёбра скрыты, их изображают штриховыми линиями. Чтобы посчитать все, возьмите настоящую модель.
- Путать площадь и объём. Площадь измеряют в см², объём — в см³.
- Забывать о невидимых гранях. Площадь поверхности включает все 6 граней, а не только 3, видимые на рисунке.
- Вырезать развёртку, не проверив её. Сначала разберитесь, как сложатся грани и какие окажутся напротив друг друга.
Источники
- Podstawa programowa kształcenia ogólnego — Matematyka, szkoła podstawowa, klasy IV–VIII (польская программа: раздел «Геометрические тела», вычисление объёма и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда; редакция от 28 июня 2024 года).
- Zintegrowana Platforma Edukacyjna, materiał Politechniki Łódzkiej — Siatki i modele prostopadłościanów i sześcianów (три пары одинаковых прямоугольников, 11 развёрток куба, точки на игральном кубике).
- Zintegrowana Platforma Edukacyjna, materiał Politechniki Łódzkiej — Pole powierzchni prostopadłościanu i sześcianu (формула площади поверхности по развёртке).