W skrócie: jak liczyć działania z nawiasami?
- Nawias ma pierwszeństwo. To, co jest w nawiasie, liczysz na samym początku.
- Po nawiasie mnożenie i dzielenie wykonujesz przed dodawaniem i odejmowaniem.
- Zapisuj krok po kroku. W nowej linijce w miejsce nawiasu wpisz jego wynik, a resztę przepisz bez zmian.
- Nawias może zmienić wynik: (8 + 2) · 3 = 30, a 8 + 2 · 3 = 14.
- W zadaniu tekstowym nawias pokazuje, co trzeba policzyć razem, zanim zrobisz resztę.
Co oznacza nawias w działaniu?
Nawias mówi: „to działanie wykonaj najpierw”. Bez nawiasu obowiązuje zwykła kolejność: najpierw mnożenie i dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie. Nawias pozwala tę kolejność zmienić.
Porównaj dwa zapisy z tymi samymi liczbami:
- (8 + 2) · 3 = 10 · 3 = 30,
- 8 + 2 · 3 = 8 + 6 = 14.
Podstawa programowa dla klas 4–6 wymaga, żeby uczeń stosował reguły dotyczące kolejności wykonywania działań. Nawiasy to pierwszy krok do tej umiejętności.
Jak liczyć działania z nawiasami krok po kroku?
Każdy przykład rozwiązuj według tych samych pięciu kroków.
- Znajdź nawias i podkreśl go ołówkiem.
- Policz, co jest w środku. Jeśli w nawiasie są dwa działania, obowiązuje w nim zwykła kolejność, na przykład mnożenie przed odejmowaniem.
- Przepisz całe działanie w nowej linijce. W miejscu nawiasu wpisz jego wynik, resztę przepisz bez zmian.
- Licz dalej według zwykłej kolejności.
- Sprawdź pierwszy krok, bo tam powstaje najwięcej pomyłek.
Przykład: 3 · (12 – 2 · 4). W nawiasie najpierw mnożysz: 2 · 4 = 8. Potem odejmujesz: 12 – 8 = 4. Zostaje 3 · 4 = 12. W zeszycie każdy krok zaczyna się od znaku równości:
- 3 · (12 – 2 · 4) =
- = 3 · (12 – 8) =
- = 3 · 4 = 12.
Szybkie liczenie w nawiasach wymaga sprawnej tabliczki mnożenia. Jeśli dziecko wciąż liczy iloczyny na palcach, zajrzyj do poradnika jak nauczyć dziecko tabliczki mnożenia bez wkuwania.
Kiedy nawias zmienia wynik, a kiedy nie?
Z nawiasem | Bez nawiasu | Ten sam wynik? |
|---|---|---|
20 – (5 + 3) = 12 | 20 – 5 + 3 = 18 | nie |
36 : (4 + 2) = 6 | 36 : 4 + 2 = 11 | nie |
(9 + 6) : 3 = 5 | 9 + 6 : 3 = 11 | nie |
12 – (4 – 2) = 10 | 12 – 4 – 2 = 6 | nie |
50 – (6 · 4) = 26 | 50 – 6 · 4 = 26 | tak |
7 + (5 + 8) = 20 | 7 + 5 + 8 = 20 | tak |
Nawias wokół mnożenia lub dzielenia nic nie zmienia, bo te działania i tak liczy się przed dodawaniem i odejmowaniem. Nawias w samym dodawaniu też nie zmienia sumy. Wynik zmienia się najczęściej wtedy, gdy w nawiasie jest dodawanie lub odejmowanie, a tuż obok stoi znak mnożenia, dzielenia albo minus przed nawiasem.
Jak zapisać zadanie tekstowe działaniem z nawiasem?
Nawias przydaje się, gdy coś trzeba policzyć razem, zanim wykonasz resztę. Czytając treść, zadaj sobie pytanie: co muszę policzyć najpierw? Ta część trafia do nawiasu.
Zadanie 1. Ola miała 50 zł. Kupiła książkę za 18 zł i farby za 12 zł. Ile pieniędzy jej zostało? Zapis: 50 – (18 + 12) = 50 – 30 = 20 zł. Można też bez nawiasu: 50 – 18 – 12 = 20 zł. Oba zapisy są dobre.
Zadanie 2. Kuba kupił 4 zeszyty po 3 zł i 4 długopisy po 2 zł. Ile zapłacił? Zapis: 4 · (3 + 2) = 4 · 5 = 20 zł, bo za każdy komplet zeszyt i długopis płaci 5 zł. To samo daje 4 · 3 + 4 · 2 = 12 + 8 = 20 zł.
Zadanie 3. Zosia podzieliła po równo 36 naklejek między siebie i trzy koleżanki. Ile naklejek dostała każda? Zapis: 36 : (1 + 3) = 36 : 4 = 9. Bez nawiasu wyszłoby 36 : 1 + 3 = 39, a to nie ma sensu.
Więcej zadań z treścią na mnożenie i dzielenie znajdziesz w temacie zadania tekstowe z mnożenia i dzielenia dla klasy 3.
Ćwiczenie: policz i wstaw nawias
Część A. Policz.
- (9 + 6) : 3
- 9 + 6 : 3
- 40 – (12 + 8)
- 40 – 12 + 8
- (7 – 2) · 6
- 7 – 2 · 3
- 48 : (2 · 4)
- 100 – (45 – 15)
- (18 + 12) : (8 – 3)
- 5 · (20 – 4 · 3)
Część B. Wstaw nawiasy tak, żeby równość była prawdziwa.
- 2 + 3 · 4 = 20
- 12 – 4 – 2 = 10
- 24 : 4 + 2 = 4
- 10 – 4 · 3 + 2 = 30
Odpowiedzi: 1) 5; 2) 11; 3) 20; 4) 36; 5) 30; 6) 1; 7) 6; 8) 70; 9) 6; 10) 40; 11) (2 + 3) · 4; 12) 12 – (4 – 2); 13) 24 : (4 + 2); 14) (10 – 4) · (3 + 2).
Do rozgrzewki przed takimi przykładami przyda się generator kart matematycznych. Ustawisz w nim mnożenie albo dzielenie w zakresie 100 i wydrukujesz kartę z kluczem odpowiedzi. Pozostałe tematy tego roku znajdziesz w dziale matematyka dla klasy 4.
Jakich błędów unikać?
- Liczenie od lewej „jak leci” z pominięciem nawiasu.
- Gubienie liczb przy przepisywaniu. W nowej linijce musi się znaleźć wszystko, czego jeszcze nie policzono.
- Dodawanie po nawiasie przed mnożeniem. 2 + (3 + 1) · 5 to 2 + 4 · 5 = 22, a nie 6 · 5 = 30.
- Łańcuszek równości. Zapis 8 + 2 = 10 · 3 = 30 jest błędny, bo 8 + 2 nie równa się 30. Znak „=” musi łączyć równe wartości.
- Za dużo naraz w pamięci. Na początku każdy krok zapisuj w nowej linijce, nawet jeśli wydaje się oczywisty.
Kiedy porozmawiać z nauczycielem?
Jeśli mimo zapisu krok po kroku dziecko przez kilka tygodni myli kolejność albo gubi się w każdym dłuższym przykładzie, porozmawiaj z nauczycielem matematyki. Często przyczyną są luki we wcześniejszych umiejętnościach, na przykład w tabliczce mnożenia. Nauczyciel pomoże ustalić, od czego zacząć powtórkę.
Źródła
- Podstawa programowa kształcenia ogólnego, matematyka, klasy IV–VIII — podstawaprogramowa.pl (wymaganie: uczeń stosuje reguły dotyczące kolejności wykonywania działań; wersja obowiązująca od roku szkolnego 2024/2025).
- Khan Academy po polsku — Myślenie algebraiczne, 5. klasa (ćwiczenia: obliczanie wyrażeń z nawiasami i zapisywanie zdań za pomocą wyrażeń z nawiasami).
- Education Endowment Foundation — Improving Mathematics in Key Stages 2 and 3 (2017, aktualizacja 2022; uczniowie często traktują znak równości jako polecenie „policz”, a nie znak równych wartości).