Stručně: co potřebujete vědět o tělesech ve 4.–6. třídě?
- Těleso je trojrozměrný útvar, který má délku, šířku a výšku.
- Kvádr má 6 stěn tvaru obdélníku, 12 hran a 8 vrcholů.
- Krychle je kvádr, jehož šest stěn tvoří shodné čtverce.
- Síť je těleso rozložené do roviny. Krychle má 11 různých sítí.
- Nejdřív se učte na skutečných modelech: na krabici, hrací kostce nebo papírovém modelu, který si sami vyrobíte.
Jaká tělesa se děti učí ve škole?
Ve 4.–6. třídě, zhruba ve věku 9–12 let, žáci poznávají a popisují běžné hranoly, jehlany, válce, kužely a koule, přičemž největší pozornost patří kvádru a krychli. Je snazší tato tělesa nejdřív najít doma a teprve potom přejít k obrázkům v učebnici.
Těleso | Jak ho poznáte | Příklad z běžného života |
|---|---|---|
kvádr | 6 stěn tvaru obdélníku | krabice od bot, cihla |
krychle | 6 shodných čtvercových stěn | hrací kostka |
trojboký hranol | dvě shodné trojúhelníkové podstavy a obdélníkové boční stěny | kostka ve tvaru stříšky ze stavebnice |
jehlan | podstava tvaru mnohoúhelníku a trojúhelníkové stěny, které se sbíhají v jednom vrcholu | jehlan ze stavebnice |
válec | dvě kruhové podstavy a jedna zakřivená plocha | plechovka, rolička od papírových utěrek |
kužel | jedna kruhová podstava a jeden vrchol | papírová čepička na oslavu |
koule | nemá hrany ani vrcholy | míč |
Hranoly a jehlany mají jen rovinné stěny tvaru mnohoúhelníku, proto jsou to mnohostěny. Válce, kužely a koule mají zakřivené plochy.
Jaký je rozdíl mezi krychlí a kvádrem?
Každá krychle je kvádr, ale ne každý kvádr je krychle. Je to podobné jako u čtverce, který je zvláštním druhem obdélníku.
Vlastnost | Kvádr | Krychle |
|---|---|---|
stěny | 6 obdélníků; protější stěny jsou shodné | 6 shodných čtverců |
hrany | 12, ve třech skupinách po 4 stejně dlouhých | 12, všechny stejně dlouhé |
vrcholy | 8 | 8 |
hrany vycházející z jednoho vrcholu | 3, navzájem kolmé | 3, navzájem kolmé |
součet délek všech hran | 4 · (a + b + c) | 12 · a |
Proč jsou hrany ve třech skupinách po čtyřech? Postavte krabici na stůl a počítejte: 4 hrany na délku, 4 na šířku a 4 na výšku. Rovnoběžné hrany v každé skupině jsou stejně dlouhé.
Příklad: krabice má rozměry 5 cm, 3 cm a 2 cm. Součet délek všech jejích hran je 4 · (5 + 3 + 2) = 40 cm. Krychle s hranou dlouhou 4 cm má součet délek hran 12 · 4 = 48 cm.
Co je síť tělesa?
Síť je plochý obrazec, ze kterého se dá těleso složit. Síť kvádru obsahuje tři dvojice shodných obdélníků, síť krychle šest shodných čtverců.
Ne každé uspořádání šesti čtverců jde složit do krychle. Šest čtverců v jedné řadě nebo obdélník ze dvou řad po třech čtvercích nefungují. Různých sítí krychle je 11. Jednoduchým příkladem je kříž: čtyři čtverce pod sebou a ke druhému z nich po jednom čtverci na každé straně.
Než síť vystřihnete, zkuste si skládání představit. Pomáhá určit, které stěny budou po složení protější.
Jak vyrobit krychli ze čtverečkovaného papíru?
Počítejte asi s 20–30 minutami. Potřebujete čtverečkovaný papír, pravítko, nůžky a lepidlo.
- Zvolte velikost. Když mají čtverečky stranu 5 mm, zabere čtverec o straně 3 cm šest čtverečků na délku i na šířku.
- Narýsujte síť ve tvaru kříže: čtyři stejné čtverce ve svislém pruhu a ke druhému z nich po jednom čtverci na každé straně.
- Přidejte chlopně na lepení. Potřebujete jich 7. Krychle má 12 hran; 5 z nich jsou v této síti přehyby, zbylých 7 hran je potřeba slepit.
- Udělejte z ní hrací kostku. Před slepením nakreslete tečky od 1 do 6 tak, aby součet na protějších stěnách byl 7: 1 naproti 6, 2 naproti 5 a 3 naproti 4.
- Vystřihněte, přehněte a slepte. Přehýbejte podél čar mezi čtverci a lepidlo dávejte jen na chlopně.
- Zkontrolujte model. Spočítejte stěny, hrany a vrcholy. Mělo by vám vyjít 6, 12 a 8.
Síť kvádru uvidíte i tak, že opatrně rozlepíte malou papírovou krabičku podél vybraných hran a rozložíte ji naplocho. Změřte obdélníky: najdete tři shodné dvojice.
Nechte dítě model samo narýsovat, vystřihnout a slepit. Jak pomáhat nápovědou a nepřebírat práci, najdete v článku jak pomáhat dítěti s učením, aniž byste práci dělali za něj.
Jak vypočítat povrch a objem kvádru?
Povrch je součet obsahů všech šesti stěn – tedy stejný obsah, jaký vidíte na síti. Pro kvádr s délkami hran a, b a c platí:
- povrch: S = 2 · (a · b + b · c + a · c),
- objem: V = a · b · c.
Krabice s rozměry 5 cm, 3 cm a 2 cm má povrch 2 · (15 + 6 + 10) = 62 cm² a objem 5 · 3 · 2 = 30 cm³. Objem si můžete představit jako počet krychliček o hraně 1 cm, které se dovnitř vejdou: v každé vrstvě 15 a vrstvy jsou 2, dohromady tedy 30. Krychle s hranou 4 cm má povrch 6 · 16 = 96 cm² a objem 64 cm³.
Při výpočtu povrchu se využívá obsah obdélníku, který se děti učí dříve. Zopakovat si ho můžete v části matematika pro 4. třídu. Na hranoly, povrch a objem navazuje učivo v části matematika pro 6. třídu.
Objem souvisí i s tím, kolik se do nádoby vejde: 1 litr je 1 dm³, tedy objem krychle s hranou 10 cm, a 1 ml je 1 cm³. Praktické odměřování mililitrů a litrů najdete v článku matematika v kuchyni pro děti.
Jakým chybám se vyhnout?
- Plést si rovinné útvary s tělesy. Čtverec může být stěnou krychle, kruh podstavou válce.
- Počítat na obrázku jen viditelné hrany. Některé hrany jsou skryté a bývají nakreslené čárkovaně. Všechny je spočítáte na skutečném modelu.
- Plést si obsah s objemem. Obsah se měří v cm², objem v cm³.
- Zapomínat na skryté stěny. Povrch zahrnuje všech 6 stěn, ne jen 3, které jsou vidět na obrázku v perspektivě.
- Vystřihnout síť dřív, než ji zkontrolujete. Nejdřív si rozmyslete, jak se stěny složí a které budou protější.
Zdroje
- Podstawa programowa kształcenia ogólnego — Matematyka, szkoła podstawowa, klasy IV–VIII (oddíl „Tělesa“ a výpočet objemu a povrchu kvádru; text po změně z 28. června 2024).
- Zintegrowana Platforma Edukacyjna, materiał Politechniki Łódzkiej — Siatki i modele prostopadłościanów i sześcianów (tři páry shodných obdélníků, 11 sítí krychle, oka na hrací kostce).
- Zintegrowana Platforma Edukacyjna, materiał Politechniki Łódzkiej — Pole powierzchni prostopadłościanu i sześcianu (vzorec pro povrch odvozený ze sítě).